Алексей Бодров родился в Москве 5 ноября 1960 года. В 1983 году с отличием закончил МФТИ по кафедре проблем физики и астрофизики (зав. кафедрой академик В. Л. Гинзбург). Кандидат физико-математических наук (1989 год, теоретическая физика). Изучал богословие на теологическом факультете Российского открытого университета, в Центре религиозных исследований (Москва) и в Оксфордском университете ( Balliol College).

В 1991—1995 годах — директор и секретарь попечительского совета Общедоступного православного университета, основанного прот. Александром Менем. Основатель и ректор Библейско-богословского института св. апостола Андрея (ББИ), главный редактор Издательства ББИ и журнала «Страницы: богословие, культура, образование».

Член консультативного совета академического программного комитета проекта «Наука, богословие и онтологический поиск» (Рим) и { Института академического исследования Восточного христианства (VU University, Амстердам), был председателем на церемонии вручения Темплтоновской премии 1999 года в Московском кремле (проф. Иен Барбур).

Член консультативного совета Фонда Джона Темплтона (США) (2005—2011), правления Международной ассоциации по развитию высшего христианского образования (IAPCHE, 2001—2007), исполнительного комитета Экуменической ассоциации академий и мирянских центров в Европе (Oikosnet-Europe, 2004—2007), рабочего комитета проекта «Истоки — православно-католическое сотрудничество в образовании и культуре» (Италия)и консультативного совета Русско-Американского университета (Москва).

Соредактор русского издания пятитомной «Истории II Ватиканского собора», редактор и составитель нескольких сборников по межконфессиональному и межрелигиозному диалогу, современному богословию, диалогу науки и богословия, член редакционного совета научной серии Bibliotheca Biblica, серии Doxa & Praxis: Exploring Orthodox Theology (WCC/Volos), Общества библейской литературы (SBL)[1], журналов Religionen unterwegs Бодров Алексей Эдуардовичи Contagion.

Награждён орденом святителя Кирилла Туровского Белорусской православной церкви.